书呆子的概率题

重构几个有趣的初级概率题,先从小明的冷笑话讲起。

一天老师在班里举行讲笑话大赛,轮到小明了。
小明:“不笑是傻蛋。”
全班停了一秒,全都笑了。
老师:“哈哈,滚出去,哈哈。。”

于是小明一滚就不知道滚到哪里去了。

故事一 小明打乒乓

小明滚到体育馆去打乒乓。乒乓馆正在打擂台赛,卫冕冠军小强正在等待新人挑战。
小明和旺财一路打到决赛。
要挑战卫冕冠军,小明和旺财首先要打一轮两场比赛。如果其中任意一个赢了两场,便可以打第二轮挑战小强。如果小强能够赢下第二轮中的任意一场,则保留冠军头衔,否则新冠军便是小明或者旺财。(也就是说,如果小强拿下第二轮的第一场,第二场就不用再进行。)

另外还有一些条件,通过比赛记录,计算机给出了三组对抗胜算的概率:

  1. 小明胜旺财: $0.6$
  2. 小强胜小明: $0.5$
  3. 小强胜旺财: $0.7$

每场比赛之间没有任何关联性,我们想知道:

  1. 小强卫冕的概率
  2. 如果第二轮比赛确实发生了:
    2.1 小明夺冠的概率
    2.2 小强卫冕的概率
  3. 如果第二轮确实发生了,但只进行了一场,那么小明在第一轮胜出的条件概率是多少?

故事二 小明碰运气

滚出学校的路上,小明碰到一个路边游戏摊,游戏摊给了一个像电路板一样的房间,房间里每道门都有一个概率$p$可以打开,交10块钱就可以进去碰运气,如果能从A走到B,那么可以赢100块钱。

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小明最终拿到100块钱的概率是多少?

故事三 小明寻情记

小明有女友在A城,有梦中情人在B城,老师上周没收他手机的时候发现了他丰富的感情生活。据聊天内容推测,小明离家出走到A城的几率是$0.4$,小明去B城的几率是$0.6$。(不要问我为什么。)

老师一想不行啊,走丢了我的年终奖就没了啊,那我得找啊,她掐指一算:

  1. 如果小明去会女朋友了,她找到他的概率是$0.25$;
  2. 如果小明去追求梦中情人了,她找到他的概率是$0.15$;
  3. 小明不大可能从A城流窜到B城,反之也不大可能;
  4. 老师只有白天找小明,要去另一座城就要熬夜过去;
  5. 小明出走前就有私奔倾向,如果老师当天找到则小明不会拒绝跟她回学校;第二天找到则跟她回学校的几率变成$2/3$。依次类推,如果老师在第n天找到小明,则小明跟她回去的几率为$2/(n+1)$。

那么问题来了:

  1. 如果老师先从A城找起,且第一天没有找到小明,那小明仍然在A城的概率是多少?
  2. 老师左右手互搏(左右手实力相当),左手赢了先去A城,反之去B城,最终她第一天就找到了小明且带回学校记大过处分。老师先在A城搜索的概率是多少?
  3. 老师决定先去A城找两天小明。
    3.1 她在第二天找到小明并成功带回家的概率是多少?
    3.2 已知老师第一天没有找到小明,那她第二天没能将小明带回学校的概率是多少?
  4. 老师先在A城找了三天然后第四天在B城找,最终精疲力竭地在第四天找到了小明。她最终能把小明带回学校的概率是多少?

小明来一本正经地揭晓答案

结局一 小明打乒乓

先列几个事件$A$, $B$, $C$:

  • 小明胜旺财: $P(A) = 0.6$
  • 小明胜小强: $P(B) = 1 - 0.5 = 0.5$
  • 旺财胜小强: $P(C) = 1- 0.7 = 0.3$

另有事件:

  • $D$: 小强卫冕
  • $R2$: 第二轮竞赛发生
  • $M$: 小明夺冠
  • $W$: 旺财夺冠

那么事件的发展可以绘制成一棵树:
tree1

  1. 小强卫冕的概率

    每场比赛都是独立事件,所以我们只需要将树中所有灰色部分的相关路径的概率乘积加和:

    $
    \begin{aligned}
    P(D)& = P(A) \times P(A^c)+P(A)^2 \times P(B^c)+P(A)^2 \times P(B) \times P(B^c) \\
    &+ P(A^c) \times P(A)+P(A^c)^2 \times P(C^c)+P(A^c)^2 \times P(C) \times P(C^c) \\
    &=.6 \times .4+.6^2 \times .5+.6^2\times.5 \times .5+.4 \times .6+.4^2 \times .7+.4^2 \times .3 \times .7 \\
    &=.8956\\
    \end{aligned}
    $

  2. 如果第二轮比赛确实发生了,分别求小明夺冠和小强卫冕的概率

    求条件概率,第二轮比赛确实发生的概率有:

    $
    \begin{aligned}
    P(R2) &= P(A)^2 + P(A^c)^2 \\
    & = .6^2 + .4^2 \\
    & = .52
    \end{aligned}
    $

    在此基础上,我们要计算$P(M|R2)$和$P(D|R2)$

    $
    \begin{aligned}
    P(M|R2) &= P(M \cap R2) / P(R2) \\
    & = .6^2 \times .5^2 / .52 \\
    & = .1731
    \end{aligned}
    $

    $
    \begin{aligned}
    P(D|R2) &= P(D \cap R2) / P(R2) \\
    & = (P(A)^2 \times P(B^c)+P(A)^2 \times P(B) \times P(B^c) \\
    & + P(A^c)^2 \times P(C^c)+P(A^c)^2 \times P(C) \times P(C^c))/P(R2) \\
    &=(.6^2 \times .5+.6^2 \times.5 \times .5+.4^2 \times .7+.4^2\times.3 \times .7)/.52 \\
    & = .7992
    \end{aligned}
    $

  3. 如果第二轮确实发生了,但只进行了一场,那么小明在第一轮胜出的条件概率是多少?

    “第二轮只进行一场比赛就结束”记为事件$L$

    $
    \begin{aligned}
    P(L) &= P(A)^2 \times P(B^c) + P(A^c)^2 \times P(C^c) \\
    &= .6^2 \times .5 + .4^2 \times .7 \\
    &= .292
    \end{aligned}
    $

    将“小明赢得第一轮”记为事件AA,则这个问题实际上是要求解$P(AA|L)$:

    $
    \begin{aligned}
    P(AA|L) &= P(AA \cap L)/P(L) \\
    &= .6^2 \times .5 / .292 \\
    &= .6164
    \end{aligned}
    $

结局二 小明碰运气

房间的三个部分均为独立事件,那么我们可以先拆看分别看这三个事件的概率$P1$, $P2$, $P3$:

$
\begin{aligned}
P1 = p
\end{aligned}
$

第三部分只要两个门至少有一个们能打开,就可以通过,那么我们只需要计算两个门都不能打开的概率,然后用$1$减去此概率即可:

$
\begin{aligned}
P3 &= 1 - (1-p)^2
\end{aligned}
$

第二部分较复杂,三个并联的门作为一组和另一个门串联在一起,然后这个大组合又跟另一个门并联在一起。姑且将这两条线各自通畅视为事件$G1$和$G2$,$G1$又分为 $G11$ 和 $G12$。类似房间第三部分通路的计算逻辑,如果这三组都不通,则小明无法通过房间的第二部分。

$
\begin{aligned}
P(G11) &= 1-(1-p)^3 \\
P(G1^c) &= 1 - P(G11) \times P(G12) \\
&= 1 - \{1-[1 -(1-p)^3]\} \times p) \\
&= 1 - p \times (1-p)^3 \\
P(G2^c) &= 1-p \\
P2 &= 1- P(G1^c) \times P(G2^c) \\
& = 1 - (1-p) \times [1 - p \times (1-p)^3]
\end{aligned}
$

整合起来,小明通过这个房间最终拿到钱的概率是:

$
\begin{aligned}
P &= P1 \times P3 \times P2 \\
&= p \times [1 - (1-p)^2] \times \{1 - (1-p) \times [1 - p \times (1-p)^3]\}
\end{aligned}
$

小明掐指一算……觉得还是要个计算器算得快……

结局三 小明寻情记

先把事件列出来:

  • 小明去A城: $P(A) = 0.4$
  • 小明去B城: $P(B) = 0.6$
  • 老师在A城找到小明: $P(F|A) = 0.25$
  • 老师在B城找到小明: $P(F|B) = 0.15$
  • 老师第1天找到小明并带回: $P(R_1|F) = 1$
  • 老师第i天$(i>1)$找到小明并带回: $P(R_i|F) = 2/(i+1)$

概率之外的东西

写这篇其实也是想看看hexo现在公式转化的功能有没有健全。
在没有添加任何plugin的情况下,已经可以写出如上的公式了。
要注意的是表示公式换行的\\以及表示花括号的\{\},都需要在左边额外添加一个\用于hexo的编译。